Цена 600 рублей один чертеж формата А3.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Методические указания к выполнению графических работ по начертательной геометрии

2. Контрольные работы по начертательной геометрии

3. Указания к решению задач

3.1. Пересечение поверхности плоскостью

3.1.1. Построение линии пересечения наклонного эллиптического конуса плоскостью треугольника АВС

3.1.2. Построение линии пересечения наклонного эллиптического цилиндра плоскостью треугольника АВС

3.1.3. Построение линии пересечения сферы плоскостью треугольника АВС

3.2. Развертки поверхностей

3.2.1. Развертка конуса

3.2.2. Развертка цилиндра

3.2.3. Развертка сферы

3.3. Пересечение поверхностей

Библиографический список

Приложение 1. Коды специальностей

Приложение 2. Исходные данные к задачам 9, 10

Приложение 3. Исходные данные к задаче 11

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Начертательная геометрия», при изучении которой студент знакомится со способами изображения пространственных форм на плоскости, нашла широкое практическое применение в конструкторской практике, в черчении и других технических дисциплинах при решении инженерных задач графическими методами.

В инженерной практике геометрические модели изучаются с помощью чертежей, которые являются средством общения людей в их производственной деятельности. Чертеж как средство выражения технической мысли и как производственный документ должен определять геометрические свойства предмета, его форму и размеры, должен быть простым и точным.

Специалисты, занимающиеся вопросами конструирования технических систем и их управлением, должны иметь развитое пространственное воображение, должны уметь читать и создавать графическую документацию.

В результате изучения начертательной геометрии студент должен усвоить теоретические основы построения проекций точек, прямых, плоскостей, пространственных линий и поверхностей на плоскости; научиться решать задачи на взаимную принадлежность и взаимное пересечение геометрических фигур, а также на определение натуральных величин геометрических элементов.

Таким образом, целью изучения студентами начертательной геометрии является приобретение ими знаний и навыков, необходимых для решения инженерногеометрических задач при конструировании изделий.

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия» студент должен выполнить четыре контрольные работы (в зависимости от специальности).

Данные методические указания состоят из двух частей. В первой части представлены первая и вторая контрольные работы по темам «Точка, прямая и плоскость на комплексном чертеже» и «Метрические задачи». Во вторую часть включены третья и четвертая контрольные работы по темам «Пересечение поверхности плоскостью», «Развертка поверхностей» и «Пересечение поверхностей».

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Контрольные работы выполняются по индивидуальному варианту. Для студентов очной формы обучения номер варианта соответствует порядковому номеру, под которым фамилия студента записана в групповом журнале. Для студентов заочной и дистанционной форм обучения номер варианта определяется суммой трех последних цифр шифра студента, например, если шифр В2279, то студент выполняет вариант 18. Перед выполнением контрольной работы (КР) (для правильного ее оформления) студенты должны ознакомиться со стандартами ЕСКД, изложенными в справочнике [1].

Контрольные работы выполняются на листах чертежной бумаги стандартного формата (А2, А3). На каждом листе должны быть рамка (поля: слева – 20 мм; сверху, снизу и справа – 5 мм) и основная надпись, выполненная по требованиям ГОСТ 2.10468 и приведенная в работах [1, 9], которая располагается в правом нижнем углу чертежа.

В случае невыполнения студентом контрольной работы в срок без уважительной причины или при получении неудовлетворительной оценки студенту выдается новое задание и устанавливается другой срок сдачи работы. При повторном невыполнении КР защита ее переносится на экзаменационную сессию.

2. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Номера эпюр, перечень задач, входящих в контрольную работу в зависимости от специальности (прил. 1), приведены в табл. 2.1, темы контрольных работ, номера и условия задач – в табл. 2.2.

Исходные данные к задачам 9, 10 для студентов всех форм обучения представлены в прил. 2, к задаче 11 – в прил. 3.

Задания вычерчиваются по исходным данным в предложенном масштабе и располагаются с учетом наиболее рационального размещения в пределах указанного формата листа.

9 Контрольная работа 3

Пересечение поверхности плоскостью

Построить линию пересечения поверхности плоскостью треугольника ABC. Определить видимость поверхности, плоскости треугольника и линии сечения, натуральную величину фигуры сечения Прил. 2

10 Развертка поверхностей

По данным задачи 9 построить полную развертку заданной поверхности с указанием на ней линии сечения

11 Контрольная работа 4

Пересечение поверхностей

Построить линию пересечения поверхностей, определить видимость поверхностей и линии пересечения Прил. 3

3. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

3.1. Пересечение поверхности плоскостью

З а д а ч а 9. Построить линию пересечения поверхности плоскостью треугольника АВС. Определить видимость поверхности, плоскости треугольника и линии сечения, а также натуральную величину фигуры сечения.

Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей, который состоит в том, что для построения этих точек вводится ряд вспомогательных плоскостейпосредников, пересекающих данную поверхность по некоторым линиям, а данную секущую плоскость  по прямым. Точки пересечения этих линий с соответствующими прямыми будут точками искомой линии пересечения, так как они являются общими для данных поверхности и плоскости.

При выборе вспомогательных секущих плоскостей следует руководствоваться простотой построения линий пересечения этих плоскостей с данной поверхностью. Эти линии должны быть графически простыми линиями, т. е. прямыми или окружностями. Обычно в качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости уровня или проецирующие.

Построение сечения рекомендуется начинать с определения опорных точек, к которым относятся точки смены видимости и экстремальные. Точки смены видимости расположены на контурной линии поверхности и разделяют линию пересечения поверхности с секущей плоскостью на видимую и невидимую части. Экстремальными точками являются высшая и низшая, крайние левая и правая, ближняя и дальняя точки линии сечения. После определения опорных точек, строят необходимое число дополнительных (произвольных) точек.

Преобразованием комплексного чертежа можно добиться того, чтобы секущая плоскость общего положения стала проецирующей. В этом случае построение линии пересечения значительно упрощается, так как одна ее проекция уже известна – она представляет собой прямую, совпадающую со следом секущей плоскости. Задача сводится к построению второй проекции линии сечения как ряда точек, расположенных на образующих или направляющих линиях заданной поверхности.

Построив линию пересечения, необходимо определить видимость заданной поверхности, плоскости треугольника и линии сечения методом конкурирующих точек [9, задача 5].

Для определения натуральной величины фигуры сечения надо преобразованием комплексного чертежа секущую плоскость сделать плоскостью уровня.

Исходные данные для задачи 9 приведены в прил. 2. Чертеж задания выполняется по координатам вершин треугольника и характерных точек поверхности.

3.1.1. Построение линии пересечения наклонного эллиптического конуса плоскостью треугольника АВС

Пример построения линии пересечения наклонного эллиптического конуса плоскостью треугольника АВС приведен на рис. 3.1.

Решение начинаем с вычерчивания треугольника АВС по координатам вершин и характерных точек поверхности (О – центр окружности основания конуса, R – радиус окружности основания конуса, S – вершина конуса). Для определения видимости линии пересечения строим очерковые образующие конуса: в горизонтальной плоскости проекций П1 из точки О1 опускаем перпендикуляры к касательным конуса, проведенным из точки S1, в результате чего получаем точки G и K, из которых проводим образующие SG и SK. Для построения очерковых образующих во фронтальной плоскости проекций П2 на основании конуса в плоскости П1 из точки О1 проводим прямую, параллельную оси х, затем из точек пересечения этой прямой с окружностью (основание конуса) строим образующие SD и SP. После получения очерковых образующих проводим несколько вспомогательных образующих (SF, SL, SN, SM, SE). Для дальнейшего построения развертки рекомендуется образующие располагать путем вписывания шестигранника в основание конуса.

Итак, методом замены плоскостей проекций заданная плоскость приведена в положение проецирующей. Новая ось проекций x1 (П1/П4) проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 заданной плоскости треугольника АВС.

Проекция линии пересечения конуса с плоскостью треугольника на дополнительной плоскости проекций П4 представляет собой прямую 14  84, сов

Рис. 3.1

падающую со следом плоскости. В точках пересечения этого следа плоскости с образующими конуса отмечаем проекции ряда точек линии пересечения на

плоскость П4  точки 24, 34 и т. д., затем строим горизонтальную проекцию линии пересечения на плоскость проекций П1 по условию принадлежности точек прямым, которыми являются образующие конуса. Фронтальную проекцию линии пересечения строим по ее горизонтальной проекции по условию принадлежности точек прямым (образующих поверхности) или по координатам z, взятым с плоскости проекций П4 (от оси х1 системы П1/П4) для соответствующих точек.

Сначала определяем опорные точки линии пересечения:

1я и 8я – экстремальные точки (высшая и низшая соответственно);

8я и 9я  точки видимости для плоскости проекций П1;

4я и 5я  точки видимости для плоскости проекций П2.

Точки 1 и 8, принадлежащие образующим SL и SK, определяем непосредственно по проекциям их на плоскость П4. Точки видимости 8 и 9 находим на горизонтальных проекциях очерковых образующих конуса SK и SG. Точки видимости 4 и 5 определяем на фронтальных проекциях очерковых образующих SD и SP. Произвольные точки 2, 3, 6 и 7 принадлежат образующим SF, SN, SE и SM.

Итак, видимость геометрических элементов определена по конкурирующим точкам.

Для определения натуральной величины фигуры сечения плоскость П1 заменяем на плоскость П5. Ось х2 (П4/П5) проводим параллельно плоскости треугольника А4В4С4. При построении проекций точек на плоскость П5 берем координаты y, взятые из плоскости П1 (от оси х1 системы П1/П4), и откладываем их от оси х2 системы П4/П5. На плоскость П5 фигура сечения проецируется в натуральную величину, так как она находится в плоскости уровня.

3.1.2. Построение линии пересечения наклонного эллиптического цилиндра плоскостью треугольника АВС

Пример построения линии пересечения наклонного эллиптического цилиндра плоскостью треугольника АВС приведен на рис. 3.2.

Построение выполняем так же, как и для наклонного эллиптического конуса (см. п. 3.1.1).

Рис. 3.2

3.1.3. Построение линии пересечения сферы

плоскостью треугольника АВС

Пример построения линии пересечения сферы плоскостью треугольника АВС приведен на рис. 3.3.

Решение начинаем с вычерчивания треугольника АВС по координатам вершин и характерных точек поверхности (О и R – центр и радиус сферы).

При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна какойлибо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется без искажения. Если секущая плоскость занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна, окружность сечения изображается отрезком прямой, длина которого равна диаметру окружности, а на другой плоскости – эллипсом, большая ось которого равна диаметру окружности сечения. Этот эллипс строят по точкам. Точки смены видимости относительно плоскости П1 лежат на экваторе сферы.

Для решения задачи выполняем замену плоскости проекций П2 плоскостью П4, которая расположена перпендикулярно горизонтали (в данном примере горизонталь совпадает со стороной треугольника АС). В новой системе П1/П4 заданная плоскость является фронтально проецирующей. Точки 1 и 8 являются опорными, точки 4 и 5 – точками смены видимости в горизонтальной проекции сечения, точки 12 и 10, расположенные на экваторе сферы, – точками смены видимости во фронтальной проекции сечения, точки 9 и 10, расположенные на контуре фронтальной проекции сферы и отделяющие видимую часть сечения от невидимой, определены по проекционной связи. Промежуточные точки (2, 3, 6, 7) могут быть построены при помощи дополнительных параллелей сферы.

Для определения натуральной величины сечения выполняем замену плоскости проекций П1 плоскостью П5.

3.2. Развертки поверхностей

З а д а ч а 10. По данным задачи 9 построить полную развертку заданной поверхности с указанием на ней линии сечения.

Рис. 3.3

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые. Образующей первых является прямая линия (конус, цилиндр), а вторых – кривая (сфера, тор). Линейчатые поверхности разделяют на развертывающиеся и неразвертывающиеся. К развертывающимся поверхностям относятся цилиндр и конус (прямые и наклонные). Для них может быть построена точная развертка. Для остальных поверхностей строят приближенные развертки.

Разверткой поверхности называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех точек поверхности без складок и разрывов. Существует несколько способов построения разверток поверхностей: треугольников (триангуляции), нормального сечения, раскатки.

Точная развертка поверхности многогранника способом триангуляции получается в результате последовательного вычерчивания всех граней в натуральную величину. Построение любой грани выполняется путем разбивки ее на треугольники. Длина сторон треугольника определяется любым известным методом.

Построение разверток конических и цилиндрических поверхностей сводится к построению развертки многогранных поверхностей, вписанных в данные поверхности.

Способ нормального сечения следует применять для построения разверток наклонных призматических и цилиндрических поверхностей. Развертку этим способом надо выполнять в следующем порядке: пересечь поверхность вспомогательной плоскостью, перпендикулярной ее ребрам (образующим); развернуть линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной поверхностью; на перпендикулярах к развернутой линии пересечения отложить длину отрезков ребер (образующих) поверхности; соединить концы образующих прямыми отрезками (для призматических поверхностей) или плавными кривыми (для цилиндрических).

Полная развертка поверхности представляется разверткой ее боковой поверхности и основаниями. Линия сечения поверхности наносится на развертку с помощью характерных точек. Для каждой такой точки в ортогональных проекциях определяют положение образующей и направляющей линий поверхности, на пересечении которых расположена взятая точка. Строят эти линии на развертке и в их пересечении отмечают искомую точку.

3.2.1. Развертка конуса

Пример построения развертки наклонного эллиптического конуса показан на рис. 3.4. Проекции конуса с линией пересечения его плоскостью взяты из чертежа, полученного при выполнении задания п. 3.1.1.

В коническую поверхность вписана восьмигранная пирамида и выполнена развертка последней. Следует отметить, что ребра пирамиды совпадают с соответствующими образующими конуса.

Длина всех ребер пирамиды определена методом прямоугольного треугольника. Развертка конуса приведена правее фронтальной проекции конуса. Все треугольники имеют один общий катет – SQ, который равен разнице координат z для вершины пирамиды S и всех точек ее основания, а второй катет – отрезок, равный горизонтальной проекции соответствующей образующей конуса (QM = S1M1, QP = S1P1 и т. д.). Гипотенузы треугольников равны натуральной длине соответствующих ребер пирамиды. На каждом ребре построены точки, принадлежащие линии сечения (точки перенесены из плоскости П2 на соответствующие гипотенузы). Например, точка 8 принадлежит образующей SК и направляющей, проходящей через фронтальную проекцию 82 параллельно оси проекций.

Ребра основания пирамиды расположены в горизонтальной плоскости и проецируются в натуральную величину на плоскость П1. По трем сторонам треугольника методом засечек строим все грани пирамиды, точки ее основания соединяем плавной кривой, к одной из точек кривой основания пристраиваем основание конуса. На боковой поверхности конуса строим линию сечения по точкам 8, 6, 4 и т. д., расстояние которых от вершин конуса или от его основания определено по гипотенузам соответствующих треугольников.

3.2.2. Развертка цилиндра

Пример построения развертки наклонного эллиптического цилиндра способом раскатки приведен на рис. 3.5. В данном примере основания цилиндра расположены в горизонтальных плоскостях и проецируются в натуральную величину на плоскость П1. Так как образующие не являются линиями уровня, то необходимо провести замену плоскостей проекций П1 на П6 (координаты берем из плоскости П2).

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Построение развертки цилиндра сводим к развертке восьмигранной призмы, вписанной в заданную поверхность.

Разрезав боковую поверхность цилиндра по образующей, проходящей через точку F, раскатываем поверхность до совмещения ее с плоскостью проекций П6. При этом совмещении каждая точка поверхности цилиндра перемещается во фронтально проецирующей плоскости, перпендикулярной к образующей цилиндра.

На каждой образующей построены точки, принадлежащие линии сечения (точки перенесены из плоскости П6 по линиям связи на соответствующие образующие цилиндра).

Для того чтобы найти на развертке положение точки D, через ее проекцию D6 проводим перпендикуляр к образующим цилиндра, из точки F – окружность радиусом, равным D1F1 – натуральной длине хорды DF; полученная точка пересечения перпендикуляра с окружностью будет искомой. Аналогично строим и другие точки. Таким образом, задача сводится к построению натуральной величины граней призмы, вписанной в цилиндрическую поверхность.

3.2.3. Развертка сферы

Пример построения приближенной развертки сферы, которая является поверхностью вращения, приведен на рис. 3.6. Кривые поверхности вращения, плоскость которых проходит через ось вращения, называются меридианами. Кривые поверхности вращения, плоскость которых перпендикулярна оси вращения, называются параллелями. Например, на рис. 3.6 f – главный меридиан, а параллелями являются окружности, лежащие в горизонтальных плоскостях и проведенные через точки 1 – 3.

При построении развертки поверхности вращения последнюю разбивают меридианами и параллелями на криволинейные трапеции, которые заменяют описанными плоскими трапециями. В результате получается гранная поверхность, развертку которой и строят.

Поверхность сферы (см. рис. 3.6) разбита тремя меридианами на шесть частей (долей), а каждая доля – пятью параллелями на шесть трапеций. Построение выполнено для верхней половины одной доли, так как все они одинаковые, а верхняя часть каждой доли симметрична нижней.

Рассмотрим построение развертки сферы на примере развертки трапеции CEFD, ограниченной меридианами ОЕ и OF и параллелями, проведенными через точки 3 и 2. Основания трапеции находятся в горизонтальных плоскостях и проецируются в натуральную величину на плоскость П1, поэтому CD = С1D1 и EF = E1F1. Высота трапеции параллельна фронтальной плоскости и проецируется без искажения на фронтальную проекцию f2 главного меридиана, поэтому высота 23 равна проекции 2232.

Положение произвольной точки М, принадлежащей сфере, определяется расстоянием до ее среднего меридиана доли и расстоянием до ближайшей параллели (эти расстояния помечены на рис. 3.6 двумя и одной черточкой соответственно). Первое расстояние берем с горизонтальной проекции, а второе  с фронтальной проекции после поворота точки М вокруг оси вращения сферы до совмещения с главным меридианом.

Для построения линии на развертке сферы наносим точки этой линии, расположенные на среднем и крайних меридианах каждой доли. Половина развертки сферы приведена на рис. 3.6.

3.3. Пересечение поверхностей

З а д а ч а 11. Построить линию пересечения поверхностей, определить видимость поверхностей и линии пересечения.

Порядок решения задачи на построение линии пересечения двух поверхностей такой же, как и при построении линии сечения поверхности с плоскостью (см. задачу 9). Исходные данные для задачи студенты берут согласно своему варианту из прил. 3.

Построение линии пересечения конуса и цилиндра приведено на рис. 3.7. Боковая поверхность цилиндра является фронтально проецирующей, поэтому фронтальная проекция линии пересечения определяется сразу  она совпадает с фронтальной проекцией цилиндра.

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Вспомогательная фронтальная плоскость Ф пересекает поверхности по очерковым образующим на плоскость П2, при пересечении которых получаются точки 1 и 6. Нижняя образующая цилиндра находится в горизонтальной плоскости основания конуса, на пересечении их горизонтальных проекций получаются точки 5 и 5.

Вводя вспомогательные горизонтальные плоскости ,  и , находим точки 2 и 2  точки перегиба линии пересечения на плоскости П1; точки 3 и 3, которые определяют видимость линии сечения на плоскости П1 относительно цилиндра; точки 4 и 4  крайние точки линии сечения на плоскости П1, т. е. дальнюю и ближнюю.

Линия пересечения, находящаяся на верхней половине цилиндра, будет видимой на плоскости П1.